Wer war Leonhard Euler?
Leonhard Euler war einer der größten Mathematiker aller Zeiten. Er entwickelte die Grundlagen der modernen Zahlentheorie und Algebra, der Topologie, der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik, der Integralrechnung, der Theorie der Diffenrentialgleichungen und der Differentialgeometrie, der Variationsrechnung, entdeckte den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen. Leonhard Euler entwickelte die Hydrodynamik und Strömungslehre, schuf die Grundlagen für die Theorie des Kreisels. Er war ein genialer Naturwissenschaftler, ein hervorragender Lehrer und Mentor.
Es war am 24. April 1727, als auf Einladung der russischen Zarin Katharina I der 19jährige Magister Leonhard Euler seine Heimatstadt Basel verließ und eine glanzvolle wissenschaftliche Karriere an der Akademie der Wissenschaften Russlands begann. Dort wirkten bereits die Gebrüder Bernoulli (Nikolai und Daniel), Christian Goldbach und andere hervorragende europäische Wissenschaftler. Kurz vor seinem Tod beauftragte Peter I den Marburger Philosophen und Mathematiker Christian Wolf, die besten Köpfe Europas unter dem Siegel der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften zu vereinen.
Im Mai 1771 wütete in St. Petersburg ein Großbrand. Hunderte Gebäude brannten nieder, unter anderem auch das Haus des Akademikers Leonhard Euler. Dem Baseler Handwerker Peter Grimm gelang es jedoch, den 64jährigen blinden Mathematiker vor dem Feuertod zu retten. Dank seines beherzten Eingreifens blieben auch fast alle Manuskripte des größten Mathematikers aller Zeiten der Nachwelt erhalten. Darunter auch die Arbeit “Über Kettenbrüche” (1737) und “Über die Schwingungen einer Saite” (1748). In diesen Arbeiten formulierte Euler Aufgaben, deren Lösung die Mathematik noch 200 Jahre beschäftigen sollte. Eulers Arbeiten ermöglichten es 250 Jahre später, eines der fundamentalsten Geheimnisse der Natur zu lüften – die Eigenschwingungen des Universums.
Eigenschwingungen eines mit Perlen besetzten masselosen elastischen Fadens untersuchte bereits Euler. Im Zusammenhang mit dieser Aufgabe entwickelte d'Alembert seine Integrationsmethode für ein System linearer Differentialgleichungen. Davon ausgehend stellte Daniel Bernoulli seinen bekannten Satz auf, dass die Lösung des Problems der frei schwingenden Saite als trigonometrische Reihe darstellbar ist, was zwischen Euler, d'Alembert und D. Bernoulli eine Diskussion veranlasste, die sich über einige Jahrzehnte erstreckte. Später zeigte Lagrange korrekter, wie man durch Grenzübergang von der Lösung des Problems der Schwingungen einer Perlenschnur zur Lösung des Problems der Schwingungen einer homogenen Saite kommt. Vollkommen löste diese Aufgabenstellung erst J. B. Fourier 1822.
Schier unüberwindbare Probleme entstanden indes immer noch mit Perlen unterschiedlicher Masse und unregelmäßiger Verteilung. Diese Aufgabe führt zu Funktionen mit Lücken. Nach einem Brief von Charles Hermite vom 20.Mai 1893, der dazu aufrief, “die beklagenswerte Plage der Funktionen ohne Ableitungen in Angst und Schrecken abzuweisen”, untersuchte T. Stieltjes Funktionen mit Unstetigkeiten und fand eine Integrationsmethode solcher Funktionen, die zu Kettenbrüchen führte.
Indes erkannte bereits Euler, dass komplizierte schwingende Systeme auch solche Lösungen (Integrale) enthalten können, die selbst nicht überall differenzierbar sind, und hinterließ der mathematisch begabten Nachwelt ein analytisches Monster – die so genannten nichtanalytischen Funktionen (dieser Begriff wurde von ihm selbst gewählt). Nichtanalytische Funktionen sorgten bis ins 20. Jahrhundert für reichlich Beschäftigung, auch nachdem die durch sie heraufbeschworene Identitätskrise der Mathematik bereits überwunden schien.
Die Krise begann, als E. du Bois Reymond 1875 zum ersten Mal über eine von Weierstrass konstruierte stetige, aber nichtdifferenzierbare Funktion berichtete, und dauerte etwa bis 1925. Ihre Hauptakteure waren Cantor, Peano, Lebesgue und Hausdorff. Als Ergebnis wurde ein neuer Zweig der Mathematik geboren – die fraktale Geometrie.
Fraktal kommt vom lateinischen fractus und bedeutet soviel wie “in Stücke zerbrochen” und “irregulär”. Fraktale sind also ausgesprochen lückenhafte, tückische mathematische Objekte. Die Mathematik des 19. Jahrhunderts hielt diese Objekte für Ausnahmeerscheinungen und betrachtete daher reguläre, stetige und glatte Strukturen bzw. versuchte, fraktale Erscheinungen auf solche Strukturen zurückzuführen.
Die Theorie der fraktalen Mengen ermöglichte es, “nichtanalytische” faltige, körnige oder lückenhafte Formen qualitativ streng zu untersuchen. Alsbald stellte sich auch heraus, dass fraktale Strukturen gar nicht mal so selten sind. In der Natur entdeckte man mehr fraktale Objekte als bislang vermutet. Mehr noch, plötzlich schien es so, als sei das Universum von Natur aus fraktal.
Besonders Arbeiten von Mandelbrot versetzten die Geometrie endlich in die Lage, fraktale Objekte mathematisch korrekt zu beschreiben: lückenhafte Kristallgitter, die Brownsche Bewegung der Gasmoleküle, verschlungene polymere Riesenmoleküle, irreguläre Sternenhaufen, Zirruswolken, die Saturnringe, die Verteilung der Mondkrater, Turbulenzen in Flüssigkeiten, bizarre Küstenlinien, schlängelnde Flussläufe, faltige Gebirgszüge, verzweigte Wachstumsformen verschiedenster Pflanzenarten, Flächeninhalte von Inseln und Seen, Gesteinsformationen, geologische Ablagerungen, die räumliche Verteilung von Rohstoffvorkommen und und und.
Die Leningrader Mathematiker F. R. Gantmacher und M. G. Krein betrachteten 1950 die Auslenkungslinie einer schwingenden Saite mit Perlen als gebrochenen Streckenzug. Eben dieser Ansatz ermöglichte ihnen eine fraktale Sichtweise des Problems, ohne das sie sich dessen bewusst waren (Mandelbrots Klassiker “Les objets fractals” erschien 1975, seine ersten Arbeiten aus den 50ern fielen in den Fachbereich Linguistik). Erst die fraktale Sichtweise brachte sie in die Lage, das 200 Jahre alte Eulersche Problem der schwingenden Perlenschnur für Perlen unterschiedlicher Masse und unregelmäßiger Verteilung vollständig (auch für den allgemeinsten Fall) zu lösen. In ihrer Arbeit “Oszillationsmatrizen, Oszillationskerne und kleine Schwingungen mechanischer Systeme” bewiesen sie, dass die Gesamtheit aller Eigenschwingungen einer endlichen Perlenschnur oder Saite einen endlichen bzw. unendlichen Stieltjes-Kettenbruch bilden. Dabei sind die Massen der Perlen und die Abstände zwischen ihnen identisch mit den Teilnennern des Kettenbruchs.
1955 verallgemeinerte V. P. Terskich die (inhaltlich fraktale) Kettenbruch-Methode auf Schwingungen komplizierter verzweigter Kettensysteme. Die klassischen Arbeiten von T. N. Thiele, A. A. Markov, A. J. Chintchin, O. Perron, J. A. Murphy, M. R. O'Donohoe, A. N. Chovansky, H. S. Wall, D. I. Bodnar, C. I. Kucminskaja, V. J. Skorobogat'ko u.a. verhalfen der Kettenbruch-Methode zum endgültigen Durchbruch und ermöglichten bis 1981 die Entwicklung effizienter Algorithmen der Addition und Multiplikation von Kettenbrüchen.
Mathematische Modelle schwingender fraktaler Kettensysteme werden heute in den verschiedensten wissenschaftlichen Bereichen mit großem Erfolg angewendet. Bereits in den 60er Jahren erreichte ihre Popularität einen Kulminationspunkt in der Elektrotechnik. Die rasante Entwicklung der Computerbranche während der letzten Jahrzehnte ist nicht zuletzt auf die Effizienz solcher Modelle in der Festkörperphysik zurückzuführen. Schwingende fraktale Kettensysteme entdeckte man in neuronalen Netzen, unseren Erbanlagen und Ökosystemen.
Das gesamte Universum ist ein schwingendes fraktales Kettensystem, das mit einer Eulerschen Perlenschnur gigantischen Ausmaßes mathematisch verglichen werden kann. Die Eigenschwingungen der Materie beeinflussen nicht nur den zeitlichen Verlauf aller physikalischen, chemischen, biologischen und sozialen Prozesse, sie sind auch ein globaler morphogenetischer Faktor und Ursache eines globalen Selektionsprozesses. Ihr Frequenzspektrum ist logarithmisch fraktal.
Leonhard Euler hinterließ etwa 900 wissenschaftliche Arbeiten, darunter:
Mechanica 1736)
Über Kettenbrüche (1737)
Tentamen novae musicae (1739)
Theorie der Planetenbewegung (1744)
Neue Grundsätze der Artillerie (1745)
Nova theoria lucis et colorum (1746)
Über die Schwingungen einer Saite (1748)
Introductio in analysin infinitorum (1748)
Theorie des Schiffbaues (1749)
Institutiones calculi differentialis (1755)
Institutiones calculi integralis (1770)
Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)
Lettres · une princesse d'Allemagne sur quelques sujets de Phsique et Philosophie (1772)
Dioptrica (1771)